A Perífrase na análise sintática 

Na página 58 da Gramática, definimos Perífrase como uma combinação sintática em que dois ou mais verbos (auxiliar e auxiliado ou principal) se juntam para a formação de um só núcleo de predicado - o que implica que o conjunto dos verbos das perífrases tenham o mesmo sujeito. 

Na frase que analisamos hoje, os verbos fazer e perder não formam perífrase, ou seja, o predicado não é fizera perder.

O raio do dinheiro enterrado fizera-lhe perder a alegria
(Aquilino, Terras do Demo, p.204) - [é do Rola (lhe) que aqui se fal

Assunto: o dinheiro enterrado;- que se diz desse dinheiro enterrado? - fez (causou) que alguém perdesse a alegria.  

 - e quem é que perdeu a alegria? - foi o Rola (lhe).

Então, o lhe  (o Rola) é sujeito de perder. 

Sabemos que  o sujeito da voz ativa é , na forma passiva, compl. de agente da passiva.

[(que) por ele (pelo Rola) fosse perdida a alegria]. Deste modo nos mostra a Língua que o lhe é sujeito de perder a alegria.

Além disso notemos que os dois verbos não têm o mesmo sujeito - o 1.º é o dinheiro; o 2.º é a pessoa que perde a alegria. Por isso, os dois verbos não podem formar um só predicado

O raio do dinheiro enterrado: trata-se aqui dum caso de Aposição valorativa ou enfática: cfr. Apostos, na p.51 e seguintes.

ANÁLISE SINTÁTICA
O raio do dinheiro enterrado fizera-lhe perder a alegria

Oração composta
Suj.: o raio do dinheiro enterrado; predicado: fizera-lhe perder a alegria; compl. direto: -lhe perder a alegria

- lhe perder a alegria
Proposição completiva, infinitiva, substantiva.
Suj.: lhe (o Rola); predicado: perder a alegria; compl. direto: a alegria

Esta frase de Aquilino é UMA ORAÇÃO COMPOSTA cujo compl. direto é uma unidade de sentido (uma oração).
Quando uma unidade de sentido (lhe perder a alegria) desempenha função sintática numa oração composta toma o nome de proposição.
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Os pronomes pessoais, quando são sujeito em proposições de infinito, tomam a forma de complemento [me - te - se - lhe - nos - vos - lhes] - como vemos claramente em:

O João viu-me comprar isto
Oração composta
Suj.: o João; predicado: viu-me comprar isto; compl. direto: me comprar isto

- me comprar isto
Proposição completiva, infinitiva, substantiva
Suj.: me; predicado: comprar isto; compl. direto: isto - (Gramática, p.147)

Havemos de notar que viu e comprar não formam perífrase - porque cada verbo tem sujeito próprio: O João viu - eu (-me) comprar isto. Logo, o predicado desta oração composta NÃO É viu comprar;  o compl. direto de viu é me comprar isto. [Notemos como a Língua  forma a voz passiva: isto ser compredo por mim. Ninguém pode duvidar de que o me seja sujeito de comprar.

As orações infinitivas têm o sujeito em acusativo (forma de complemento), como em latim. As perífrases estão explicadas e demonstradas na p. 58 e segs.